[ Тематический план ] [ Арифметические основы ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.
Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000 2 до 11111111 2 , а в двубайтовом формате — от 00000000 00000000 2 до 11111111 11111111 2 .
Диапазоны значений целых чисел без знака
| Формат числа в байтах | Диапазон | |
| Запись с порядком | Обычная запись | |
| 1 | 0 ... 2 8 –1 | 0 ... 255 |
| 2 | 0 ... 2 16 –1 | 0 ... 65535 |
Примеры:
а) число 72 10 = 1001000 2 в однобайтовом формате:
б) это же число в двубайтовом формате:
в) число 65535 в двубайтовом формате:
Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей. Диапазоны значений целых чисел со знаком
| Формат числа в байтах | Диапазон | |
| Запись с порядком | Обычная запись | |
| 1 | –2 7 ... 2 7 –1 | –128 ... 127 |
| 2 | –2 15 ... 2 15 –1 | –32768 ... 32767 |
| 4 | –2 31 ... 2 31 –1 | –2147483648 ... 2147483647 |
Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата , при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.
| В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код. |
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде .
Например:
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код . В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины.
Например:
2. Обратный код . Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями.
Например:
3. Дополнительный код . Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.
Например:
| Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа. |
| В большинстве компьютеров операция вычитания не используется . Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ. |
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7 10 .
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10 10 .
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа . Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n–1 , где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n–1 = 27 = 128). Например:
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2 ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых , что является свидетельством переполнения разрядной сетки .
6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n–1 . Например:
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых , что свидетельствует о переполнении разрядной сетки .
Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:
1. А и В положительные . Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает .
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:
Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр , называемый накапливающим сумматором , который до начала выполнения операции содержит число ноль . В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений , а по завершении операции — окончательный результат .
Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель . Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается , пока не достигнет нулевого значения.
Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 . 
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.